Modelo de média móvel autoregressiva: Wikis A notação AR (p) refere-se ao modelo autorregressivo de ordem p. O modelo AR (p) é escrito Um modelo autorregressivo é essencialmente um filtro de resposta de impulso infinito de todos os pólos com alguma interpretação adicional colocada sobre ele. Algumas restrições são necessárias sobre os valores dos parâmetros deste modelo para que o modelo permaneça estacionário. Por exemplo, os processos no modelo AR (1) com 1 1 não são estacionários. Modelo de média móvel A notação MA (q) refere-se ao modelo de média móvel de ordem q: Modelo de média móvel auto-regressiva A notação ARMA (p. q) refere-se ao modelo com p termos autorregressivos e q termos de média móvel. Este modelo contém os modelos AR (p) e MA (q), Nota sobre os termos de erro N (0, 2) onde 2 é a variância. Essas premissas podem ser enfraquecidas, mas isso mudará as propriedades do modelo. Em particular, uma alteração do i. i.d. Uma diferença bastante fundamental. Especificação em termos de operador de atraso Em alguns textos os modelos serão especificados em termos do operador de atraso L. Nestes termos, então o modelo AR (p) é dado por onde representa o polinômio O modelo MA (q) é dado por onde representa o polinômio Finalmente, o modelo combinado ARMA (p. Q) é dado por ou mais concisamente, Notação alternativa Alguns autores, incluindo Box, Jenkins amp Reinsel (1994) usam uma convenção diferente para os coeficientes de autorregressão. Isso permite que todos os polinômios envolvendo o operador de latência apareçam em uma forma semelhante por toda parte. Assim, o modelo ARMA seria escrito como Modelos de encaixe. Os modelos ARMA em geral podem ser ajustados por regressão por mínimos quadrados para encontrar os valores dos parâmetros que minimizam o termo de erro. Considera-se geralmente boa prática encontrar os menores valores de p e q que proporcionam um ajuste aceitável aos dados. Para um modelo AR puro, as equações de Yule-Walker podem ser usadas para proporcionar um ajuste. A obtenção de valores apropriados de p e q no modelo ARMA (p, q) pode ser facilitada traçando as funções de autocorrelação parcial para uma estimativa de p. E também usando as funções de autocorrelação para uma estimativa de q. Mais informações podem ser obtidas considerando as mesmas funções para os resíduos de um modelo equipado com uma seleção inicial de p e q. Implementações em pacotes de estatística Em R. o pacote tseries inclui uma função arma. A função é documentada em Ajustar modelos ARMA a séries temporais. MATLAB inclui uma função ar para estimar modelos AR, veja aqui para mais detalhes. As bibliotecas numéricas IMSL são bibliotecas de funcionalidade de análise numérica, incluindo procedimentos ARMA e ARIMA implementados em linguagens de programação padrão como C, Java, C e Fortran. Gretl também pode estimar modelos ARMA, veja aqui onde é mencionado. O GNU Octave pode estimar modelos AR usando funções do pacote extra octave-forge. Aplicações ARMA é apropriado quando um sistema é uma função de uma série de choques não observados (a parte MA), bem como seu próprio comportamento. Por exemplo, os preços das ações podem ser chocados por informações fundamentais, bem como apresentar tendências técnicas e efeitos de reversão média devido aos participantes do mercado. Generalizações A dependência de X t sobre valores passados e os termos de erro t é assumida como linear, a menos que especificado de outra forma. Se a dependência for não-linear, o modelo é especificamente chamado de média móvel não-linear (NMA), não-linear auto-regressiva (NAR), ou modelo de média móvel autorregressiva não linear (NARMA). Os modelos de média móvel auto-regressivos podem ser generalizados de outras formas. Ver também modelos de heteroscedasticidade condicional autorregressiva (ARCH) e modelos de média móvel integrada autorregressiva (ARIMA). Se forem montadas várias séries temporais, pode ser instalado um modelo ARIMA (ou VARIMA) vector. Se a série temporal em questão exibe memória longa, então a modelagem fracionada de ARIMA (FARIMA, às vezes chamada de ARFIMA) pode ser apropriada: ver Média móvel fracionada e integrada fracamente. Se os dados são pensados para conter efeitos sazonais, pode ser modelado por um SARIMA (ARIMA sazonal) ou um modelo ARMA periódica. Outra generalização é o modelo auto-regressivo multiescala (MAR). Um modelo MAR é indexado pelos nós de uma árvore, enquanto que um padrão (tempo discreto) modelo autorregressivo é indexado por inteiros. Ver modelo autorregressivo multiescala para uma lista de referências. Observe que o modelo ARMA é um modelo univariável. Extensões para o caso multivariado são o Vector Autoregression (VAR) e Vector Autoregression Moving-Average (VARMA). Modelo de média móvel auto-regressiva com modelo de entradas exógenas (modelo ARMAX) A notação ARMAX (pgb) refere-se ao modelo com p termos autorregressivos, q termos de média móvel e b termos de entradas exógenas. Este modelo contém os modelos AR (p) e MA (q) e uma combinação linear dos últimos b termos de uma série de tempo conhecida e externa d t. É dada por: Algumas variantes não-lineares de modelos com variáveis exógenas foram definidas: ver, por exemplo, modelo exógeno não-linear auto-regressivo. Os pacotes estatísticos implementam o modelo ARMAX através do uso de variáveis exógenas ou independentes. Referências George Box. Gwilym M. Jenkins. E Gregory C. Reinsel. Análise de Séries Temporais: Previsão e Controle. terceira edição. Prentice-Hall, 1994. Mills, Terence C. Técnicas de séries temporais para economistas. Cambridge University Press, 1990. Percival, Donald B. e Andrew T. Walden. Análise Espectral para Aplicações Físicas. Cambridge University Press, 1993. Pandit, Sudhakar M. e Wu, Shien-Ming. Série de Tempo e Análise de Sistema com Aplicações. John Wiley amp Sons, Inc. 1983. Modelo de média móvel agressiva Em estatística. Modelos de média móvel autoregressiva (ARMA). Às vezes chamado Box-Jenkins modelos após George Box e G. M. Jenkins. São tipicamente aplicados a dados de séries temporais. Dada uma série temporal de dados X t. O modelo ARMA é uma ferramenta para a compreensão e, talvez, a previsão de valores futuros nesta série. O modelo consiste em duas partes, uma parte autorregressiva (AR) e uma parte média móvel (MA). O modelo geralmente é então referido como o modelo ARMA (p, q) onde p é a ordem da parte autorregressiva e q é a ordem da parte média móvel (como definido abaixo). Modelo auto-regressivo Editar A notação AR (p) refere-se ao modelo autorregressivo de ordem p. O modelo AR (p) é escrito Um modelo autorregressivo é essencialmente um filtro de resposta de impulso infinito com alguma interpretação adicional colocada sobre ele. Algumas restrições são necessárias sobre os valores dos parâmetros deste modelo para que o modelo permaneça estacionário. Por exemplo, os processos no modelo AR (1) com 1 gt 1 não são estacionários. Exemplo: Um Processo AR (1) É dado um processo AR (1) pelo qual se obtém um perfil Lorentziano para a densidade espectral: Cálculo dos parâmetros AR O modelo AR (p) é dado pela equação Dado que a última Parte da equação é não-zero somente se m 0, a equação normalmente é resolvida representando-a como uma matriz para m gt 0, obtendo assim a equação Derivação Edit A equação que define o processo AR é Multiplicando ambos os lados por X tm e tomando esperado Valor que produz as equações de Yule-Walker: Modelo de média móvel A notação MA (q) refere-se ao modelo de média móvel de ordem q. Onde o 1. Q são os parâmetros do modelo eo t. T-1. São novamente, os termos de erro. O modelo de média móvel é essencialmente um filtro de resposta de impulso finito com alguma interpretação adicional colocada sobre ele. Modelo de média móvel auto-regressivo Editar A notação ARMA (p. Q) refere-se ao modelo com p termos autorregressivos e q termos de média móvel. Este modelo contém os modelos AR (p) e MA (q), Nota sobre os termos de erro Edit N (0, 2) onde 2 é a variância. Essas premissas podem ser enfraquecidas, mas isso mudará as propriedades do modelo. Em particular, uma alteração do i. i.d. Uma diferença bastante fundamental. Especificação em termos de operador de defasagem Editar Em alguns textos os modelos serão especificados em termos do operador de atraso L. Nestes termos, então o modelo AR (p) é dado por onde representa o polinômio O modelo MA (q) é dado por onde representa o polinômio Finalmente, o modelo combinado ARMA (p. Q) é dado por ou mais concisamente, Os modelos ARMA em geral podem, após escolher p e q, ser ajustados por regressão por mínimos quadrados para encontrar os valores dos parâmetros que minimizam o termo de erro. Considera-se geralmente boa prática encontrar os menores valores de p e q que proporcionam um ajuste aceitável aos dados. Para um modelo AR puro, então as equações de Yule-Walker podem ser usadas para proporcionar um ajuste. Generalizações Editar A dependência de X t sobre valores passados e os termos de erro t é assumida como linear, a menos que especificado em contrário. Se a dependência for não-linear, o modelo é especificamente chamado de média móvel não-linear (NMA), não-linear autoregressive (NAR), ou modelo de média móvel autorregressiva não linear (NARMA). Os modelos de média móvel auto-regressivos podem ser generalizados de outras formas. Ver também modelos de heteroscedasticidade condicional autorregressiva (ARCH) e modelos de média móvel integrada autorregressiva (ARIMA). Se forem montadas várias séries temporais, pode ser instalado um modelo vectorial ARIMA (ou VARIMA). Se a série de tempo em questão exibe memória longa, então fracionária ARIMA (FARIMA, às vezes chamado ARFIMA) modelagem é apropriado. Se se pensa que os dados contêm efeitos sazonais, pode ser modelado por um modelo SARIMA (ARIMA sazonal). Outra generalização é o modelo auto-regressivo multiescala (MAR). Um modelo MAR é indexado pelos nós de uma árvore, enquanto que um padrão (tempo discreto) modelo autorregressivo é indexado por inteiros. Ver modelo autorregressivo multiescala para uma lista de referências. Veja também Editar Referências Editar George Box e F. M. Jenkins. Análise de Séries Temporais: Previsão e Controle. segunda edição. Oakland, CA: Holden-Day, 1976. Mills, Terence C. Técnicas de séries temporais para economistas. Cambridge University Press, 1990. Percival, Donald B. e Andrew T. Walden. Análise Espectral para Aplicações Físicas. Cambridge University Press, 1993.Modelo médio móvel em movimento De Wikipedia, a enciclopédia livre Em estatísticas e processamento de sinais. Modelos de média móvel autorregressiva (ARMA). Às vezes chamado Box-Jenkins modelos após a metodologia iterativa Box-Jenkins geralmente usado para estimá-los, são normalmente aplicados a dados de séries temporais. Dada uma série temporal de dados X t. O modelo ARMA é uma ferramenta para a compreensão e, talvez, a previsão de valores futuros nesta série. O modelo consiste em duas partes, uma parte autorregressiva (AR) e uma parte média móvel (MA). O modelo geralmente é então referido como o modelo ARMA (p, q) onde p é a ordem da parte autorregressiva e q é a ordem da parte média móvel (como definido abaixo). Editar Modelo auto-regressivo A notação AR (p) refere-se ao modelo autorregressivo de ordem p. O modelo AR (p) é escrito Um modelo autorregressivo é essencialmente um filtro de resposta de impulso infinito de todos os pólos com alguma interpretação adicional colocada sobre ele. Algumas restrições são necessárias sobre os valores dos parâmetros deste modelo para que o modelo permaneça estacionário. Por exemplo, processos no modelo AR (1) com 1 1 não são estacionários. Editar Modelo de média móvel A notação MA (q) refere-se ao modelo de média móvel de ordem q: editar Modelo de média móvel auto-regressivo A notação ARMA (p. q) refere-se ao modelo com p termos autorregressivos e q termos de média móvel. Este modelo contém os modelos AR (p) e MA (q), editar Nota sobre os termos de erro N (0, 2) onde 2 é a variância. Essas premissas podem ser enfraquecidas, mas isso mudará as propriedades do modelo. Em particular, uma alteração ao i. i.d. Uma diferença bastante fundamental. Editar Especificação em termos de operador de atraso Em alguns textos os modelos serão especificados em termos do operador de atraso L. Nestes termos, então o modelo AR (p) é dado por onde representa o polinômio O modelo MA (q) é dado por onde representa o polinômio Finalmente, o modelo combinado ARMA (p. Q) é dado por ou mais concisamente, Notação Alguns autores, incluindo Box, Jenkins amp Reinsel (1994) usam uma convenção diferente para os coeficientes de autorregressão. Isso permite que todos os polinômios envolvendo o operador de latência apareçam em uma forma semelhante por toda parte. Assim, o modelo ARMA seria escrito como: editar Modelos de encaixe Os modelos ARMA em geral podem, após escolher p e q, ser ajustados por regressão de mínimos quadrados para encontrar os valores dos parâmetros que minimizam o termo de erro. Considera-se geralmente boa prática encontrar os menores valores de p e q que proporcionam um ajuste aceitável aos dados. Para um modelo AR puro, as equações de Yule-Walker podem ser usadas para proporcionar um ajuste. Editar Implementações em pacotes de estatísticas editar Aplicações ARMA é apropriado quando um sistema é uma função de uma série de choques não observados (a parte MA) clarificação necessária, bem como seu próprio comportamento. Por exemplo, os preços das ações podem ser chocados por informações fundamentais, bem como apresentar tendências técnicas e efeitos de reversão média devido aos participantes do mercado. Editar Generalizações A dependência de X t sobre os valores passados e os termos de erro t é assumida como linear, a menos que especificado de outra forma. Se a dependência for não-linear, o modelo é especificamente chamado de média móvel não-linear (NMA), não-linear auto-regressiva (NAR) ou modelo de média móvel autorregressiva não linear (NARMA). Os modelos de média móvel auto-regressivos podem ser generalizados de outras formas. Ver também modelos de heteroscedasticidade condicional autorregressiva (ARCH) e modelos de média móvel integrada autorregressiva (ARIMA). Se forem montadas várias séries temporais, pode ser instalado um modelo ARIMA (ou VARIMA) vector. Se a série temporal em questão exibe memória longa, então a modelagem fracionada de ARIMA (FARIMA, às vezes chamada de ARFIMA) pode ser apropriada: ver Média móvel fracionada e integrada fracamente. Se os dados são pensados para conter efeitos sazonais, pode ser modelado por um SARIMA (ARIMA sazonal) ou um modelo ARMA periódica. Outra generalização é o modelo auto-regressivo multiescala (MAR). Um modelo MAR é indexado pelos nós de uma árvore, enquanto que um padrão (tempo discreto) modelo autorregressivo é indexado por inteiros. Ver modelo autorregressivo multiescala para uma lista de referências. Observe que o modelo ARMA é um modelo univariável. Extensões para o caso multivariado são o Vector Autoregression (VAR) e Vector Autoregression Moving-Average (VARMA). Editar Modelo de média móvel auto-regressivo com modelo de entradas exógenas (modelo ARMAX) A notação ARMAX (p., B) refere-se ao modelo com p termos autorregressivos, q termos de média móvel e termos de entradas e ganhos. Este modelo contém os modelos AR (p) e MA (q) e uma combinação linear dos últimos b termos de uma série de tempo conhecida e externa d t. É dada por: Algumas variantes não-lineares de modelos com variáveis exógenas foram definidas: ver, por exemplo, modelo exógeno não-linear auto-regressivo. Editar Veja também editar Referências George Box. Gwilym M. Jenkins. E Gregory C. Reinsel. Análise de Séries Temporais: Previsão e Controle. terceira edição. Prentice-Hall, 1994. Mills, Terence C. Técnicas de séries temporais para economistas. Cambridge University Press, 1990. Percival, Donald B. e Andrew T. Walden. Análise Espectral para Aplicações Físicas. Cambridge University Press, 1993. Pandit, Sudhakar M. e Wu, Shien-Ming. Série de Tempo e Análise de Sistema com Aplicações. John Wiley amp Sons, Inc. 1983. Modelo de média móvel agressiva Em estatística. Modelos de média móvel autorregressiva (ARMA). Às vezes chamado de Box-Jenkins modelos após a metodologia iterativa Box-Jenkins geralmente usado para estimá-los, são normalmente aplicados a dados de séries temporais. Dada uma série temporal de dados X t. O modelo ARMA é uma ferramenta para a compreensão e, talvez, a previsão de valores futuros nesta série. O modelo consiste em duas partes, uma parte autorregressiva (AR) e uma parte da média móvel (MA). O modelo geralmente é então referido como o modelo ARMA (p, q) onde p é a ordem da parte autorregressiva e q é a ordem da parte média móvel (como definido abaixo). Modelo auto-regressivo A notação AR (p) refere-se ao modelo autorregressivo de ordem p. O modelo AR (p) é escrito onde 1.. P, ldots, varphi são os parâmetros do modelo, c é uma constante e t é um termo de erro (veja abaixo). O termo constante é omitido por muitos autores por simplicidade. Um modelo autorregressivo é essencialmente um filtro de resposta de impulso infinito com alguma interpretação adicional colocada sobre ele. Algumas restrições são necessárias sobre os valores dos parâmetros deste modelo para que o modelo permaneça estacionário. Por exemplo, os processos no modelo AR (1) com 1 gt 1 não são estacionários. Exemplo: Um processo AR (1) Um processo AR (1) é dado por: onde t é um processo de ruído branco com média zero e variância 2. (Nota: O subscrito em 1 foi descartado.) O processo é covariância-estacionário se lt 1. Se 1 então X t exibe uma raiz unitária e também pode ser considerada como uma caminhada aleatória. Que não é covariância-estacionária. Caso contrário, o cálculo da expectativa de X t é direto. Assumindo covariância-estacionário chegamos onde está a média. Para c 0 entende-se que a média 0 e a variância são: Pode-se ver que a função de autocovariância decai com um tempo de decaimento de 1 ln () para ver isto, escreve B n K n Kphi onde K é independente de n . Note então que n e n ln e combine isto com a lei exponencial de decaimento e n A função de densidade espectral é a transformada de Fourier da função de autocovariância. Em termos discretos esta será a transformada de Fourier de tempo discreto: Esta expressão contém aliasing devido à natureza discreta do X j. Que se manifesta como o termo coseno no denominador. Se assumimos que o tempo de amostragem (t 1) é muito menor do que o tempo de decaimento (), então podemos usar uma aproximação contínua para B n. Que produz um perfil lorentziano para a densidade espectral: onde 1 é a frequência angular associada ao tempo de decaimento. Uma expressão alternativa para X t pode ser derivada substituindo primeiramente c X t 2 t 1 varepsilon para X t 1 na equação definidora. Continuando este processo N vezes produz X t c k 0 N 1 k N X t N k 0 N 1 k t k. Csum varphi varphi X sum varphi varepsilon. Para N se aproximando do infinito, N se aproxima de zero e: Vê-se que X t é ruído branco convoluído com o k kernel mais a média constante. Pelo teorema do limite central. O X t será normalmente distribuído como qualquer amostra de X t que é muito mais longa do que o tempo de decaimento da função de autocorrelação. Cálculo dos parâmetros AR O modelo AR (p) é dado pela equação É baseado nos parâmetros i onde i 1. p. Esses parâmetros podem ser calculados usando a regressão dos mínimos quadrados ou as equações de Yule-Walker. Onde m 0, p. Produzindo p 1 equações. M é a função de autocorrelação de X, é o desvio padrão do processo de ruído de entrada, e m é a função delta Kronecker. Como a última parte da equação não é zero somente se m 0, a equação é geralmente resolvida representando-a como uma matriz para m gt 0, obtendo assim a equação 1 2 3 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 3 Gamma gamma gama vdots fim gama ampamama ampparama ampdots gama ampamma ampparama ampdots gama ampparama ampparama ampdots ampots ampdots ampdots ampdots final varphi varphi varphi vdots fim Derivação A equação que define o processo AR é Multiplicando ambos os lados por X tm e tendo esperado valor rendimentos EX t X tm E i 1 pi X ti X tm E t X tm. X Eleftsum varphi, X X rightEvarepsilon X. Agora, E X t X t m m por definição da função de autocorrelação. Os valores da função de ruído são independentes um do outro e X t m é independente de t em que m é maior que zero. Para m 0, E t X tm 0. Para m 0, E t X t E t (i 1 pi X tit) i 1 Pi E t X ti E t 2 0 2. X Eleftvarepsilon esquerda (soma varphi, X varepsilon Direita) rightsum varphi, Evarepsilon, X Evarepsilon 0sigma, Agora temos, para m 0, E i 1 pi X ti X tmi 1 pi EX t X tmii 1 pim i. Varphi, X X varum de direitos, EX X sum varphi, gama, que produz as equações de Yule-Walker: Modelo de média móvel A notação MA (q) refere-se ao modelo de média móvel de ordem q. X t t i 1 q i t i varepsilon sum theta varepsilon, em que 1. Q são os parâmetros do modelo eo t. T-1. São novamente os termos de erro. O modelo de média móvel é essencialmente um filtro de resposta de impulso finito com alguma interpretação adicional colocada sobre ele. Modelo de média móvel auto-regressiva A notação ARMA (p. Q) refere-se ao modelo com p termos autorregressivos e q termos de média móvel. Este modelo contém os modelos AR (p) e MA (q), X t t i 1 p i X t i i 1 q i t i. Varepsilon sum varphi X soma theta varepsilon., Nota sobre os termos de erro N (0, 2) onde 2 é a variância. Essas premissas podem ser enfraquecidas, mas isso mudará as propriedades do modelo. Em particular, uma alteração do i. i.d. Uma diferença bastante fundamental. Especificação em termos de operador de atraso Em alguns textos os modelos serão especificados em termos do operador de atraso L. Nestes termos, então o modelo AR (p) é dado por onde representa o polinômio O modelo MA (q) é dado por X t (1 i 1 qi L i) tt esquerda (1sum theta L direita) varepsilon theta varepsilon, onde representa O polinômio Finalmente, o modelo combinado ARMA (p. Q) é dado por (1 i 1 pi L i) X t (1 i 1 qi L i) t varphi L direita) X esquerda (1sum theta L direita) varepsilon, ou De forma mais concisa, os modelos ARMA em geral podem, após escolher p e q, ser ajustados por regressão por mínimos quadrados para encontrar os valores dos parâmetros que minimizam o termo de erro. Considera-se geralmente boa prática encontrar os menores valores de p e q que proporcionam um ajuste aceitável aos dados. Para um modelo AR puro, as equações de Yule-Walker podem ser usadas para proporcionar um ajuste. Aplicações ARMA é apropriado quando um sistema é uma função de uma série de choques não observados (a parte MA), bem como seu próprio comportamento. Por exemplo, os preços das ações podem ser chocados por informações fundamentais, bem como apresentar tendências técnicas e efeitos de reversão média devido aos participantes do mercado. Generalizações A dependência de X t sobre valores passados e os termos de erro t é assumida como linear, a menos que especificado de outra forma. Se a dependência for não-linear, o modelo é especificamente chamado de média móvel não-linear (NMA), não-linear auto-regressiva (NAR) ou modelo de média móvel autorregressiva não linear (NARMA). Os modelos de média móvel auto-regressivos podem ser generalizados de outras formas. Ver também modelos de heteroscedasticidade condicional autorregressiva (ARCH) e modelos de média móvel integrada autorregressiva (ARIMA). Se forem montadas várias séries temporais, pode ser instalado um modelo ARIMA (ou VARIMA) vector. Se a série de tempo em questão exibe memória longa, então fracionária ARIMA (FARIMA, às vezes chamado ARFIMA) modelagem é apropriado. Se os dados são pensados para conter efeitos sazonais, pode ser modelado por um SARIMA (ARIMA sazonal) ou um modelo ARMA periódica. Outra generalização é o modelo auto-regressivo multiescala (MAR). Um modelo MAR é indexado pelos nós de uma árvore, enquanto que um padrão (tempo discreto) modelo autorregressivo é indexado por inteiros. Ver modelo autorregressivo multiescala para uma lista de referências. Modelo de média móvel auto-regressiva com modelo de entradas exógenas (modelo ARMAX) A notação ARMAX (p. b.b) refere-se ao modelo com p termos autorregressivos, q termos de média móvel e termos de entradas e ganhos. Este modelo contém os modelos AR (p) e MA (q) e uma combinação linear dos últimos b termos de uma série de tempo conhecida e externa d t. É dada por: X t t i 1 p i X t i i 1 q i t i i 1 b i d t i. Varepsilon sum varphi X suma theta varepsilon sum eta d., Referências George Box. Gwilym M. Jenkins. E Gregory C. Reinsel. Análise de Séries Temporais: Previsão e Controle. terceira edição. Prentice-Hall, 1994. Mills, Terence C. Técnicas de séries temporais para economistas. Cambridge University Press, 1990. Percival, Donald B. e Andrew T. Walden. Análise Espectral para Aplicações Físicas. Cambridge University Press, 1993. Ligações externas
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